El problema de la elección social

¿Por qué Uruguay quedó tercero en la tabla de las Eliminatorias cuando se cuentan sólo los partidos de local, y cuarto si se cuentan sólo los de visitante, y aún así quedó quinto en la global? ¿Por qué el Ranking del ATP es tan loco que al mismo tiempo que sucedía eso en Latinoamérica, Djokovic le ganaba a Nadal, y aún así perdía el primer puesto del ATP?

Esas dos preguntas tienen que ver con una de las cuestiones que más ha interesado a los economistas y filósofos de todas las épocas: ¿cómo debería hacer un gobierno para “agregar” las preferencias de sus gobernados? En particular, imaginemos que hay una cantidad de resultados finales que podrían tener las acciones del gobierno, llamémoslos w, x, y & z. Por ejemplo, w sería una descripción completa del estado de la economía del estilo de “Gonzalo tiene $100, María $ 90, … Inés $140, se hizo un puente sobre el Río Queguay, se bajaron los aranceles, …”. La gente ordena esas alternativas de distintas formas, y el orden de Gonzalo puede ser w>x>y>z, mientras que el de María puede ser x>y>w>z, y así con cada persona en la sociedad. La pregunta en forma más concreta ahora es, ¿Hay alguna forma “consistente” o “razonable” de que, dado cualquier perfil de preferencias de la gente sobre el conjunto de alternativas (w,x,y,z), el gobierno pueda formarse sus preferencias de tal forma que respete los órdenes que tenga la gente?

Un intento temprano de atacar esa pregunta fue “asumiendo que cada alternativa w,..,z se plasma en un nivel de bienestar para cada persona, lo que debe hacer el gobierno es maximizar la suma de los bienestares.” Otra alternativa más igualitaria fue “el gobierno debe maximizar el bienestar de la persona que tenga el menor de los bienestares”. Esas dos propuestas, sin embargo, tienen el problema que el bienestar de la gente no se puede medir, y que tampoco se pueden comparar los bienestares de la gente (¿Qué quiere decir que Juan es más feliz que José? ¿Cómo se podría medir eso?).

Para resolver este problema de la “incomparabilidad de utilidades” o de bienestares, los economistas prefieren fijarse sólo en cómo la gente ranquea las alternativas: a la hora de decidir cómo debería el gobierno ordenar a w,x,y & z, sólo nos interesará cómo las ordena cada individuo en la sociedad. Se descarta así información del tipo de “a Inés le gusta mucho más x que y”.

Dados estos preliminares, ¿qué quiere decir agregar las preferencias de forma “consistente”? Una de las primeras alternativas, y de las más resonadas, la de Kenneth Arrow en 1951, exigía dos condiciones. En primer lugar, demandaba que si todos los individuos en la sociedad preferían x a y, entonces el gobierno debía ranquear a x por encima de y (para cualquier par x,y). Eso es el principio de Pareto y es razonable: si todo el mundo en una sociedad prefiere a la alternativa x por encima de la y, el gobierno debería preferir x a y.

Por otro lado, Arrow postuló que cualquier regla “consistente” o “razonable” del gobierno (para decidir su ranking como función de los rankings de los individuos) debía ser independiente de las alternativas irrelevantes: la forma como el gobierno ranquea a x e y depende sólo de como ranquean a ese par los individuos (y no importa cómo ordenan a los otros elementos). En particular, imaginemos que en un cierto perfil de preferencias (un ranking de alternativas para cada individuo) María tiene preferencias x>y>w>z y el gobierno ordena a x por encima de z. La independencia de las alternativas irrelevantes dice que si en vez de esas preferencias el orden de María hubiera sido x>z>y>w (el orden cambió, pero seguimos teniendo x>z), el gobierno debería seguir ranqueando a x por encima de z. Es decir, si los individuos cambian sus preferencias, pero no cambian la forma en que ordenan a x & z, el gobierno no puede cambiar la forma como ordena a x & z.

El resultado casi increíble de Arrow es que la única forma de satisfacer esos dos postulados (¿inocuos?) es que haya un dictador: si una regla del gobierno satisface esos dos postulados es porque su ranking siempre (para cualquier perfil de rankings de los individuos) coincide con el de un individuo fijo de la sociedad (el dictador). Si no está sorprendido, lea nuevamente. Si le resulta increíble, y leyó hasta aquí, posiblemente quiera ver el trabajo “Rationality and Social Choice” de Amartya Sen (American Economic Review de 1995) donde lo demuestra en dos notas al pie de la página 4.

Uruguay en las Eliminatorias

En términos abstractos, el problema de la FIFA es el mismo que el de un gobernante. Así como el gobierno tiene que ordenar alternativas w,x,y & z, la FIFA debe ordenar equipos a,b,c, …, u & v (Argentina, Brasil, Colombia, … Uruguay y Venezuela). En sus consideraciones, el gobierno debe tomar en cuenta cómo cada individuo ordena a las alternativas, mientras que la FIFA podrá tomar en cuenta (por ejemplo) cómo quedan ranqueados los países si tomamos en cuenta la tabla de puntos obtenidos como local (ese sería el ranking de un individuo) y la tabla de puntos obtenida como visitante (esas serían las preferencias de otro individuo). Lo que nos dice Arrow es que es imposible armar una tabla global que respete los dos postulados básicos (que si ambas tablas dicen a > b, entonces la tabla global debe decir a > b; y que si las tablas cambian pero el orden entre a y b no cambia, entonces el orden de a y b en la tabla global no puede cambiar) y que no sea “la eliminatoria se definirá por los puntos que obtenga cada país como local” (o lo mismo con “visitante”).

El resultado es que sin importar cómo la FIFA decida el ranking de países, siempre pasarán cosas raras. Como comentamos al principio, por ejemplo, en el ranking de puntos ganados como local Uruguay quedó tercero, mientras que en de puntos visitantes, cuarto. Sin embargo, quedamos quintos en la global.

En forma similar, la ATP debe “agregar” los rankings sobre los jugadores activos arrojados por cada torneo: cada torneo viene a ser como un individuo que ranquea jugadores, y la ATP debe “juntar” todos esos rankings de alguna manera razonable. Otra vez, lo que dice Arrow es que a menos que se case con algún torneo (“mi ranking es el de Wimbledon”), siempre se violará alguno de los dos supuestos razonables y sucederán cosas raras. Por ejemplo, en una final de Roland Garros entre las hermanas Williams en 2002, sin importar quien ganara, la que llegó segunda en el ranking de ATP quedaría primera. Y, con una diferencia de días con el partido de Uruguay-Argentina, Djokovic le ganó una final a Nadal, pero le cedió el primer puesto del ATP.

Los deportes son divertidos, pero el tema de estudiar cómo deberían o podrían hacer los gobiernos para adoptar políticas deseables es infinitamente más importante. Quizás la pregunta pueda parecer un poco distanciada de la toma de decisiones reales ya que, por ejemplo, no nos preguntamos cómo haría el gobierno para saber las preferencias de la gente. Sin embargo, la idea del “Teorema de Imposibilidad de Arrow”, como se lo llama, surgió por una cuestión bien concreta. En 1948 Arrow pasó un verano en la Corporación RAND, una institución donde distintos científicos estudiaban, entre otras cosas, temas de seguridad nacional. Es ahí donde se desarrolló, por ejemplo, una parte importante de la teoría de juegos temprana. Se discutían, por ejemplo, teorías para descubrir cuál sería la mejor forma de asignar barcos a bases para maximizar la probabilidad de victoria sobre los rusos.

En una de esas discusiones, el filósofo Olaf Helmer le preguntó a Arrow (entonces un estudiante doctoral) cómo podían los economistas discutir sobre “las preferencias de Rusia o de Estados Unidos” cuando en realidad los gobiernos representaban a grupos de personas. Al principio Arrow consideró que era una pregunta “formalmente” sencilla, pero cuando quiso escribir bien lo que quería decir, se encontró con las dificultades que lo llevaron al teorema de la imposibilidad.

¿Y por qué es relevante todo esto? Quizás si hubiera una forma fácil de agregar las preferencias de la gente, cualquier gobierno que no lo hiciera sería derrocado, y tendríamos mejores políticas públicas.